首页 🏳️‍🌈CTF

定义

定义1 在m×n矩阵中,任取k行与k列(k≤m,k≤n) k≤min{m,n},位于这些行列交叉处$k^2$个元素,不改变它们在A中所处的位置次序,而得到k阶行列式,称为A的k阶子式。

定义2 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非0子式,最高阶非0子式的阶数称为矩阵A的秩,记作R(A)

  • 任何0矩阵秩为0
  • $0≤R(A_{m×n})≤$min{m,n}
  • R(A)为A阶最高阶非0子式阶数,因此

    • 若A中有某个S阶非0子式,则R(A)≥S
    • 若A中所有t阶子式全为0,则R(A)<t
  • $A^t$子式与A的对应子式相等,$R(A^T)=R(A)$
  • n阶方阵$A_n$,n阶子式只有$|A|$

    • |A|≠0,此时R(A)=n
    • |A|=0,此时R(A)<n
    • 进而:$A_n$可逆 ⇔ $|A|≠0 ⇔ R(A)=n$
  • $A_{m×n} R(A)=m$,称A为行满秩矩阵;$R(A)=n$,称A为列满秩矩阵。由此,可逆矩阵为满秩矩阵,不可逆则为降秩。
  • 行阶梯形矩阵,矩阵的秩为非0行的行数

联想到:如果初等变换不会影响秩,那么化成行阶梯形即可求出秩!

用初等变换求矩阵的秩

经过有限次初等变换,总可以把矩阵化为行阶梯形矩阵,初等变换是否会改变矩阵的秩?

若|A|≠0,经过初等变换得到B,则|B|≠0。

定理:若A~B,则R(A)=R(B)
证明:设D为A的最高阶非0子式,经过初等变换,把A变为矩阵B,与D对应的矩阵B的子式D1≠0,∴R(A)≤R(B)
同理,可以设D为B的最高阶非0子式,最终得到R(B)≤R(A),∴R(A)=R(B)

推论1:P,Q为可逆矩阵,且PAQ=B,则R(A)=R(B)
证明:P,Q为可逆矩阵,则P,Q可以写成有限个初等矩阵的乘机,PAQ=B,即相当于对A作相应行/列初等变换得到B,由于不改变秩,∴R(A)=R(B)




扫描二维码,在手机阅读!
文章评论

    儿子 访客SafariMac
    2021-05-9 18:35   回复

    爸爸好

目录