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向量b可由向量组A线性表示

即${k_1}{j_1}+{k_2}{j_2}+...{k_r}{j_r}+{k_j}{j_j}=b$作为方程有解

判定
向量b能由向量组A线性表示 ⇔ R(A)=R(A,b)
由系数矩阵的秩和增广矩阵的秩比较大小,如果R(A)=R(A,b)小于未知量的个数,则有无穷多解;等于未知量个数,则有唯一解;如果R(A)<R(A,b),则无解。

向量组B可由向量组A线性表示

定义
设有两个向量组A,B,若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示,称向量组B可由向量组A线性表示

向量组的秩及最大无关组

定义
向量组A:$\alpha_1,\alpha_2...\alpha_m$在A中选出r个向量(r≤m)

  • 满足:$\alpha_1,\alpha_2...\alpha_r$线性无关
  • 任意r+1个向量构成则线性相关

称$\alpha_1,\alpha_2...\alpha_r$是向量组A的一个最大线性无关组
注意这里说的是一个最大线性无关组,说明不唯一,用这个最大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩,记作$R_A$

若向量组只含零向量,没有最大无关组,规定秩为0

定理1
任何向量组和其最大无关组等价,也就是$A$和$A_0$可以互相线性表示。
证明:设有向量组$A$:$\alpha_1,\alpha_2...\alpha_m$,向量组A的一个最大线性无关组$A_0$是$\alpha_1,\alpha_2...\alpha_r$

  • $A_0:\alpha_1,\alpha_2...\alpha_r$线性无关,append$A_j$(j=r+1,r+2...m)后线性相关
  • ${k_1}{j_1}+{k_2}{j_2}+...{k_r}{j_r}+{k_j}{j_j}=0$
  • 假设$k_j=0$,则${k_1}{j_1}+{k_2}{j_2}+...{k_r}{j_r}=0$
  • 又 ∵ $A_0:\alpha_1,\alpha_2...\alpha_r$线性无关,${k_1}={k_2}=...={k_r}=0$
  • ∴ ${k_1}={k_2}=...={k_r}={k_j}0$,即$A_0:\alpha_1,\alpha_2...\alpha_r,\alpha_j$线性无关,与原意矛盾
  • ∴ 假设错误$k_j≠0$
  • ∴ $\alpha_j$可以用$\alpha_1,\alpha_2...\alpha_m$线性表示
  • ∴ $A$中向量均可以用$A_0$中的向量线性表示
  • 又 ∵ $A_0$中向量显然可以用$A$中的向量线性表示
  • ∴ $A$和$A_0$可以互相线性表示

定理2
矩阵A的秩=矩阵A行向量的秩=矩阵A列向量的秩




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文章评论

    2222 访客FireFoxLinux
    2021-05-16 22:49   回复

    youdianyongchu

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